TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA
INTRODUZIONE
Relatività: teoria formulata dal fisico Albert Einstein all’inizio del XX secolo. Lo scopo originario era di risolvere alcuni aspetti anomali delle leggi fisiche nei sistemi in moto relativo, ma i diversi e vari sviluppi assunti nel seguito hanno condotto alla definizione principi completamente estranei alla fisica classica, come l’equivalenza tra massa ed energia, tra spazio e tempo, tra i concetti di gravitazione e accelerazione, tutti presupposti essenziali per lo sviluppo della fisica moderna.
La fisica
prima della relatività
Le
leggi della fisica classica, accettate prima della nascita della teoria della
relatività, erano fondate sui principi della meccanica enunciati nel XVII
secolo da Isaac Newton. La meccanica newtoniana differisce dalla meccanica
relativistica sia nei principi fondamentali sia nella forma matematica, ma
giunge a risultati equivalenti se applicata allo studio di processi che
coinvolgono velocità piccole rispetto a quella di propagazione della luce. Una
descrizione corretta di sistemi in moto con alte velocità richiede invece
l’uso della relatività.
La
differenza tra la descrizione classica e quella relativistica del comportamento
di qualunque oggetto in movimento sta in un fattore introdotto alla fine del XIX
secolo da Hendrik Antoon Lorentz e da George Francis Fitzgerald. Questo fattore
si rappresenta generalmente con la lettera greca β (beta) e dipende dalla
velocità dell’oggetto (v) secondo l’equazione:
dove
c è la velocità della luce. Per velocità ordinarie, il valore di beta
si discosta dall’unità di quantità infinitesime: di conseguenza, le
correzioni relativistiche sono di scarsa importanza per la maggior parte dei
fenomeni che hanno luogo sulla Terra, ma diventano significative negli studi
astronomici, che riguardano corpi con velocità molto elevate. Analogamente,
l’approccio relativistico è dunque fondamentale quando entrano in gioco
distanze o masse molto grandi.
Il principio di relatività galileiana
Nell’ambito
della fisica classica l’analisi dei sistemi inerziali, ossia in moto
rettilineo uniforme uno rispetto all’altro, veniva condotta sulla base delle
trasformazioni di Galileo, che fornivano le relazioni tra le coordinate e la
velocità di un punto in ciascuno dei due sistemi. Come conseguenza di queste
trasformazioni – lineari nelle velocità e nella variabile temporale – le
leggi della meccanica newtoniana mostrano la medesima struttura in tutti i
sistemi di riferimento inerziali: questa proprietà dei sistemi di riferimento
inerziali va sotto il nome di principio di relatività galileiano.
Presupposti
alla nascita di una nuova teoria
Lo
spunto alla ricerca di nuove trasformazioni di coordinate per il cambiamento di
sistemi di riferimento venne dalla osservazione, maturatasi alla fine
dell’Ottocento, che le equazioni di Maxwell, il nucleo
dell’elettromagnetismo, non erano invarianti per trasformazioni di Galileo.
Questa considerazione mise in dubbio la validità del principio di relatività
galileiano e quindi l’equivalenza di tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Per risolvere l’inconsistenza, venne introdotto il concetto di etere, una
sostanza ideale in cui si ipotizzava avvenisse la propagazione delle onde
elettromagnetiche, e fu definita l’esistenza di un sistema di riferimento
privilegiato, a riposo rispetto all’etere.
Per
convalidare questa interpretazione si rendeva necessaria una prova sperimentale
all’esistenza dell’etere. Con questo intento, nel 1887, i fisici Albert
Michelson ed Edward Williams Morley misero a punto il celebre esperimento, oggi
ricordato appunto come “esperimento di Michelson e Morley”, che aveva per
obiettivo di mostrare l’evidenza del moto della Terra rispetto all’etere.
Secondo l’interpretazione della luce come radiazione elettromagnetica,
infatti, l’etere avrebbe dovuto permeare tutto lo spazio per consentire la
propagazione della radiazione solare e dunque la Terra eseguiva i suoi moti di
rivoluzione e rotazione immersa nell’etere.
L’esperimento
di Michelson Morley
L’esperimento si basava sulla considerazione che, se il Sole
era fermo nello spazio, e dunque costituiva il sistema di riferimento
privilegiato a riposo rispetto all’etere, la Terra avrebbe dovuto avere, a
causa del suo moto di rivoluzione, una velocità costante di 29 km/s
nell’etere; se viceversa il Sole e l’intero sistema solare erano in moto
nello spazio, la variazione della direzione del moto orbitale della Terra
avrebbe dovuto modificare la velocità apparente della Terra rispetto al Sole,
con un contributo positivo in certe stagioni dell’anno e negativo in altre. Il
risultato dell’esperimento di Michelson e Morley fu che la velocità della
Terra rispetto all’etere era nulla in qualsiasi periodo dell’anno,
confutando l’esistenza del mezzo cosmico ipotizzato.Nella pratica, la
realizzazione dell’esperimento consisteva nella rilevazione di una differenza
di velocità di propagazione della luce fra due raggi raggi luminosi
perpendicolari. Infatti, secondo la legge di composizione delle velocità, se un
raggio di luce e un osservatore si muovono nello spazio nella stessa direzione,
in particolare rispettivamente alle velocità di 300.000 km/s e 29 km/s, la luce
dovrebbe superare l’osservatore con una velocità apparente data dalla
differenza fra le due; viceversa, se l’osservatore si muove in direzione
opposta, la velocità apparente della luce dovrebbe essere la somma delle due
velocità (analogamente si può dire se il moto relativo dell’osservatore e
del raggio di luce sono perpendicolari). L’esperimento di Michelson e Morley,
pur utilizzando un sofisticato strumento di misura – un interferometro –
sensibile a differenze di velocità piccolissime, non riuscì a misurare alcuna
discrepanza fra le velocità dei due raggi di luce.
L’esperimento dimostrò così l’indipendenza della velocità
della luce dalla direzione di propagazione e il risultato, interpretato come
prova dell’inesistenza dell’etere, fu una conferma del principio di
relatività galileiano ed escluse la possibilità di un sistema di riferimento
privilegiato.
Nel 1904 Lorentz modificò le trasformazioni di Galileo per
ottenere un insieme di equazioni, note oggi come trasformazioni di Lorentz,
rispetto alle quali fossero invarianti le leggi dell’elettromagnetismo.
Teoria della relatività ristretta
Nel 1905 Einstein pubblicò il primo di due importanti studi
sulla teoria della relatività, in cui negava l’esistenza del moto assoluto.
Egli sosteneva infatti che nessun oggetto dell’universo potesse rappresentare
un sistema di riferimento assoluto e universale, fisso rispetto al resto dello
spazio. Al contrario, qualsiasi corpo (ad esempio, il centro del sistema solare)
poteva costituire un buon sistema di riferimento, per lo studio delle leggi che
regolano il moto dei corpi.
Il
principio della relatività secondo Einstein
Secondo
Einstein, dunque, il movimento è un concetto relativo,
che può essere descritto in qualsiasi sistema di riferimento inerziale, e tutti
gli osservatori che descrivono i fenomeni fisici in tali sistemi di riferimento
pervengono alle medesime leggi di natura. È questa l’ipotesi fondamentale,
nota come principio di relatività einsteniana, su cui poggia tutta la teoria di
Einstein: per due osservatori in moto relativo uno rispetto all’altro a
velocità costante valgono le medesime leggi della natura.
Le osservazioni di Einstein erano già state in qualche modo
stabilite da Newton, il quale affermava che “il riposo assoluto non può
essere determinato dall’osservazione della posizione dei corpi nella nostra
regione di spazio”. Ma la novità geniale introdotta da Einstein consiste
nell’aver stabilito che la velocità di propagazione della luce rispetto a un
qualsiasi osservatore è sempre la stessa, ed è pari a 300.000 km/s. Il
concetto di invarianza della velocità della luce veniva mutuato dalle equazioni
di Maxwell, nelle quali la velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche – dunque anche della radiazione luminosa – è una
“costante naturale”, che non varia se i fenomeni sono descritti in sistemi
di riferimento diversi.
Secondo
Einstein, dunque, due osservatori in moto uno rispetto
all’altro, misurano la medesima velocità della luce, come dimostrato
dall’esperimento di Michelson e Morley. L’ipotesi è in netto contrasto con
la fisica classica, secondo la quale solo uno di essi si sarebbe potuto
considerare a riposo, mentre l’altro compirebbe un errore di misura dovuto
alla contrazione di Lorentz-Fitzgerald. Per Einstein, invece, entrambi gli
osservatori possono essere considerati a riposo, e ciascuno esegue correttamente
la propria misura, assumendo il proprio sistema di coordinate come riferimento:
queste coordinate però sono collegate le une alle altre mediante appropriate
equazioni matematiche, le trasformazioni di Lorentz, già introdotte per rendere
invarianti le leggi dell’elettromagnetismo.
LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ: SPAZIO E TEMPO RELATIVI
Come conseguenza dell’impossibilità di definire un moto
assoluto, Einstein mise anche in dubbio la possibilità di definire un tempo e
una massa assoluti.
Le trasformazioni di Lorentz infatti prevedono che un orologio in
moto relativo rispetto a un osservatore appaia più lento, mentre gli oggetti
materiali sembrino avere massa più grande, modificando entrambi il loro valore
di una quantità pari al fattore β. Il principio di tempo assoluto della
meccanica newtoniana fu dunque sostituito dal principio di invarianza della
velocità della luce dallo stato di moto dell’osservatore.
L’elettrone, scoperto pochi anni prima, fornì la possibilità
di verificare la correttezza delle trasformazioni di Lorentz; gli elettroni
emessi dalle sostanze radioattive, infatti, hanno velocità prossime a quella
della luce, tali cioè da far assumere al fattore β valori apprezzabili.
Gli esperimenti confermarono le predizioni di Einstein; la massa di un elettrone
dotato di velocità prossime a quelle della luce risulta maggiore della massa a
riposo, esattamente nella misura prevista. L’incremento della massa
dell’elettrone era dovuto alla conversione dell’energia cinetica in massa,
secondo la formula E=mc2 . La teoria di Einstein fu
confermata anche mediante esperimenti sulla velocità della luce in corpi
d’acqua in movimento e sulle forze magnetiche in sostanze in moto.
L’abbandono del concetto di simultaneità comporta che due
eventi registrati come simultanei da un osservatore non risultino tali a un
secondo osservatore in moto rispetto al primo. In altre parole, non ha senso
assegnare l’istante in cui avviene un evento senza definire un riferimento
spaziale.
L’evoluzione di ogni particella o oggetto nell’universo viene
perciò descritta da una cosiddetta linea universale in uno spazio a quattro
dimensioni (tre per lo spazio e una per il tempo), detto spazio-tempo. La
“distanza” o “intervallo” tra due eventi qualsiasi può essere
accuratamente descritta per mezzo di una combinazione di intervalli di spazio e
di tempo.
La
relatività ristretta è probabilmente la teoria fisica più divulgata in
assoluto. È anche quella che ha avuto le maggiori influenze sul pensiero e
sulla coscienza collettiva, capace di portare il viso del suo fondatore e unico
fautore, lo svizzero Albert Einstein, in ogni casa e in ogni giornale.
Formulata
per la prima volta nel 1905, anno magico per la fisica, in due distinti
articoli, la relatività ristretta ebbe immediata e ampissima eco
nell’ambiente culturale dell’epoca influenzando il pensiero scientifico
certamente, ma anche l’ambiente filosofico e finanche letterario. Tra i lavori
direttamente ispirati alla relatività ristretta annoveriamo gli studi sia
teorici che ingegneristici volti gli uni alla creazione di una teoria della
relatività generale (lavori che otterranno dieci anni dopo un successo
brillante), gli altri alla conferma delle congetture rivoluzionarie della teoria
di Einstein, ma anche l’immane sforzo profuso da alcuni ambienti ostili alla
teoria. Basti pensare che ancora oggi esistono scienziati che cercano ipotesi
alternative alla relatività ristretta piuttosto che accettarne le conseguenze.
In
ambito filosofico i lavori di Einstein motivarono le ricerche di diversi
pensatori tra cui vogliamo ricordare almeno A.N. Whitehead e il suo brillante
allievo B. Russell, gli studi del premio nobel H. Bergson (in contrasto con le
idee di Einstein), e indirettamente il lavoro di molti filosofi come Duhem, Kuhn,
Popper Lakatos e Quine che ne trassero ispirazione per i concetti di rivoluzione
scientifica e per lo studio del determinismo.
In
campo letterario la relatività ristretta continua a ispirare riflessioni anche
in questi anni e ha certamente influenzato un enorme produzione
fantascientifica.
Nel
mondo politico ed economico la relatività ha dato vita a numerose applicazioni
tecnologiche, é comunemente (e in parte erroneamente) associata alla fisica
nucleare per la sua formula di equivalenza massa-energia, ed è fondamentale al
funzionamento delle telecomunicazioni satellitari, in particolare del sistema
GPS (Global position system). Senza
la relatività il sistema GPS non esisterebbe: la localizzazione precisa in
latitudine e longitudine deriva dai segnali emessi dai satelliti del Global
Positioning System in orbita geostazionaria. La loro velocità rispetto alla
superficie terrestre è elevata, circa 14.000 km all’ora, ed a questa velocità,
usando le tradizionali formule imparate nelle scuole superiori, e cioè senza
correzioni relativistiche, il sistema GPS sbaglierebbe di molte centinaia di
metri e sarebbe inutile per il posizionamento di veicoli sulla terra. La ragione
è semplice: le velocità in gioco non sono trascurabili rispetto alla velocità
della luce.
Il paradosso
dei gemelli
Egli pose fine a una serie di
dibattiti e tentativi infruttosi di spiegare l’esperimento di Michelson e
Morley, che nel frattempo era stato ripetuto sempre con lo stesso risultato,
prendendo questa posizione: accettiamo i risultati dell’esperimento, disse, e
vediamo quali sono le conseguenze. Ragionò così: se la luce si allontana con
la stessa velocità da più persone, qualcuna ferma, qualcun’altra in moto
verso di essa o nel verso opposto, allora il tempo di tutte queste persone non
può essere lo stesso. Einstein disse: se dopo un secondo la luce si trova a
300.000 km da una persona che è rimasta ferma e anche da una persona che le è
andata incontro, anche muovendosi molto velocemente, allora per la persona in
movimento non è passato un secondo, ma meno!
Questa teoria
strana, cioè il fatto che gli orologi vengono rallentati dal movimento (non nel
senso che il movimento danneggia il meccanismo di funzionamento!) ha
naturalmente trovato molti oppositori, perché non si concilia con le nostre
esperienze quotidiane. I nostri orologi non sono infatti in grado di valutare le
piccolissime differenze di tempo che si verificano alle nostre piccole velocità.
Negli anni Settanta la teoria è stata però provata, utilizzando orologi
atomici (un tipo è mostrato nell’immagine in alto a destra), i più precisi a
nostra disposizione (in grado di misurare anche miliardesimi di secondo), e
aerei velocissimi. Due orologi atomici sono stati posti a terra, mentre altri
due sono stati messi a bordo degli aerei e fatti viaggiare per un po’: al
ritorno, gli orologi in movimento segnavano qualche miliardesimo di secondo in
meno rispetto a quelli fermi. Era la prova che il tempo scorre meno per chi si
muove! Se fossimo in grado di costruire astronavi che si muovano a velocità
prossime a quella della luce, sperimenteremmo effetti per noi strani. Il più
famoso è il cosiddetto ‘paradosso dei gemelli’: un gemello che torni dopo
essere stato in viaggio per diversi anni su un’astronave troverà al suo
ritorno il gemello rimasto sulla Terra invecchiato rispetto a lui, tanto più
quanto più velocemente egli si è mosso (potrebbe trovare il gemello
invecchiato di anni oppure, per velocità elevatissime, vicinissime a quella
della luce, potrebbe trovare generazioni successive). Facciamo un esempio
numerico: alla velocità di 260.000 km/s il gemello sulla Terra al ritorno sarà
invecchiato il doppio di quello in moto, per cui se alla partenza i due gemelli
avevano 30 anni, dopo un viaggio di 20 anni il gemello in moto avrà 50 anni e
quello fermo 70.
La situazione è apparentemente contraddittoria (è per questo che si parla di
paradosso): infatti, al suo ritorno il gemello in viaggio sarebbe meno vecchio
dell'altro, mentre, essendo l'allontanamento relativo (quindi i due gemelli
indistinguibili), la stessa cosa dovrebbe accadere all'altro gemello! Il
paradosso è risolto considerando che, per partire e tornare sulla Terra, il
gemello in moto deve necessariamente subire delle accelerazioni (inversione
della velocità), i cui effetti lo distinguono dal gemello fermo.
In conclusione, l’idea di un tempo assoluto, cioè esterno e indipendente dai
fenomeni che avvengono nel mondo, va abbandonata. Il senso comune, cioè
l’insieme delle esperienze che proviamo ogni giorno ci porta a conclusioni
errate. Le nostre esperienze sono limitate e spesso non ci consentono di
formulare in modo corretto le leggi che regolano i fenomeni della natura, che in
tal caso dobbiamo ricavare per altre vie, per esempio con ragionamenti teorici.