La radiazione del corpo nero e la nascita dell'Ipotesi Quantistica

 

Che cos'è un corpo nero

Ogni corpo la cui temperatura sia al di sopra dei 0 K (l'equivalente di -273,15 °C, espressa secondo l'unità di misura della temperatura assoluta, il kelvin), emette energia sotto forma di irraggiamento, una delle varie forme di propagazione del calore. Da ciò si può comprendere come la capacità di emettere energia è strettamente legata alla capacità di assorbirla: se un'alta capacità di emissione non fosse "bilanciata" da un'alta capacità di assorbimento, tutta l'energia di un corpo andrebbe perduta ed esso raggiungerebbe una temperatura prossima allo zero assoluto. Quindi, di norma, un buon emettitore è anche un buon assorbitore, e viceversa.

In particolare, l'irraggiamento consiste in un'emissione di una serie di onde elettromagnetiche di diversa lunghezza d'onda (e quindi anche di diversa frequenza). Sperimentalmente, però, si osserva che la potenza di irraggiamento (quantità di energia irradiata per unità di tempo) di un corpo non dipende solo dalla sua temperatura, ma anche dalle sue caratteristiche fisiche (superficie, forma, composizione...).

Nello studio dei fenomeni di irraggiamento, può essere quindi utile introdurre un modello ideale di corpo emettitore, le cui caratteristiche sono:

Tale modello prende il nome di corpo nero, in virtù del fatto che le superfici che tendono ad assorbire una grande quantità di radiazioni senza rifletterle appaiono ai nostri occhi di colore nero. Importante è chiarire che questo modello, proprio per le sue caratteristiche peculiari, non esiste in natura, ma può essere ottimamente approssimato a livello sperimentale da un corpo cavo con le pareti esterne ed interne annerite con nero fumo (sostanza in grado di assorbire il 97% della radiazione incidente) che presenta un solo piccolo foro:

 

 

La radiazione incidente entra nel foro, e ha pochissime possibilità di uscita: gran parte viene assorbita subito, mentre la parte rimanente viene più volte riflessa fino ad essere assorbita anch'essa. Solo una percentuale trascurabile di radiazione riesce ad uscire. Questo assorbimento di energia genera un aumento di temperatura del corpo nero (in quanto legge generale: non solo quindi nel caso del corpo nero, ma in tutti i corpi).          

Il corpo nero emette anch'esso radiazione elettromagnetica, detta Radiazione del Corpo Nero.  

Le caratteristiche di questa radiazione sono descritte secondo i principi della fisica classica dalle due leggi di Stefan-Boltzmann e di Wien:

Legge di Stefan-Boltzmann

Considerato che l'emissione di onde elettromagnetiche (che hanno determinate frequenze) comporta l'emissione di energia, il valore delle Radianze Spettrali, ossia la potenza irraggiata per unità di superficie (W/m2) per ogni frequenza della radiazione emessa dal corpo nero, possono essere legate in un grafico con le frequenze in ascissa e la radianza spettrale in ordinata: si ha quindi una distribuzione spettrale di un corpo nero:

 

 

In tale grafico si considerano corpi neri a diverse temperature: ciò che emerge è che il valore delle diverse radianze spettrali dipende dalla FREQUENZA D'EMISSIONE e dalla TEMPERATURA del corpo.

Considerando l'insieme delle frequenze d'emissione, otteniamo la Radianza, la potenza emessa per unità di superficie considerando l'apporto energetico di tutte le frequenze. Tale parametro cresce notevolmente all'aumentare della temperatura (come è visibile dal grafico riportato sopra). Questo osservazione è espressa analiticamente dalla Legge di Stefan-Boltzmann (dal nome di Josef Stefan, che la scoprì sperimentalmente, e da quello del fisico Ludwing Boltzmann, che la formalizzò matematicamente):

Il valore T è la temperatura assoluta del corpo nero.

La costante di proporzionalità σ è nota come costante di Stefan-Boltzmann e vale

Legge di Wien

Il grafico precedente permette di fare un'altra osservazione: per temperature via via crescenti, si ha uno "spostamento" del picco della distribuzione spettrale verso destra (verso sinistra se considerassimo la lunghezza d'onda). Ciò significa che a temperature crescenti  la radiazione responsabile dell'emissione della più grande quantità di energia, la radiazione "predominante", quella effettivamente caratteristica di un corpo a quella data temperatura, ha frequenze via via più alte.

Il legame che intercorre tra la temperatura e la lunghezza d'onda (ATTENZIONE! NON LA FREQUENZA!) per la quale l'emissione è massima, è espresso dalla Legge di Wien, o legge dello spostamento:

Dove T è la temperatura assoluta del corpo nero

 

Legge di Rayleigh-Jeans e la Catastrofe Ultravioletta

La legge di Stefan-Boltzmann aveva avuto positivi riscontri dalle verifiche sperimentali, ma si limitava a definire il valore della radianza. Dalla volontà di determinare l'energia corrispondente a una singola lunghezza d'onda di radiazione. Un tentativo di determinare tale quantità, secondo le leggi della fisica classica, e in particolare basandosi sulla legge di equipartizione dell'energia, portò i fisici Rayleigh e Jeans a formulare la seguente formula:

Dove p l'energia associata alla singola lunghezza d'onda

Osservando la curva teorica della distribuzione spettrale prevista dalla legge di Rayleigh-Jeans, si può notare immediatamente una profonda discrepanza rispetto a quelli che sono i valori rilevati empiricamente: vi è accordo solo per le basse frequenze (grandi lunghezze d'onda), mentre alle alte frequenze (basse lunghezze d'onde) ciò non accade, anzi per valori della lunghezza d'onda tendenti a zero, l'energia irradiata tende all'infinito! I dati sperimentali rivelano invece come per lunghezze d'onda tendenti a zero, si ha una radianza spettrale pari a zero. Tale palese falsificazione delle previsioni teoriche della legge di Rayleigh-Jeans da parte delle prove empiriche è stata definita da G.Gamow "Catastrofe Ultravioletta"

 

Discrepanza tra le previsioni della legge di Rayleigh-Jeans (indicata come "classical theory nel grafico") e i dati sperimentali, indicati con curve di diversi colori

 

Planck e l'ipotesi quantistica

Il 14 dicembre del 1900, con la presentazione dei risultati degli studi di Max Planck (1858-1947) sulla distribuzione spettrale del corpo nero, nasce la fisica moderna. Planck, studiando l'incongruenza della legge di Rayleigh-Jeans rispetto ai risultati sperimentale, modifica tale formula in modo da farla "aderire" alla curva descritta dai risultati empirici (come si p). In particolare, questa formula, detta appunto Legge della radiazione di Planck, risulta corretta anche per le alte frequenze, in quanto a una frequenza infinita corrisponde un'energia emessa nulla.

 

 

Le previsioni di Planck con la nuova legge (linea continua) e i dati sperimentali (punti)

Il grafico si riferisce alla distribuzione della densità d'energia, che semplicemente è la radianza spettrale per unità di volume.

Più che l'analisi della formula in sé, è interessante esaminare l'ipotesi che sta alla base della sua scoperta, e più in generale alla base della Meccanica Quantistica: così come la meteria è suddivisa in costituenti microscopici, gli atomi, anche l'energia non esiste come grandezza fisica continua ma è quantizzata, ossia costituita da unità discrete elementari: i quanti. Non c'è nessun ostacolo concettuale nell'ipotizzare un'ulteriore suddivisione dei quanti, ma al di sotto di questi componenti, non ha più senso parlare di energia, così come le particelle sub-atomiche hanno poco a che fare con la nostra visione tradizionale di "materia".

Al di là delle considerazioni di carattere matematico, che richiedono una certa conoscenza della matematica superiore, si possono individuare il passaggio fondamentale che ha portato alla nascita di questa ipotesi. Consapevole del fallimento della precedente legge, basata sul principio classico della equipartizione dell'energia, Planck prova a sostituire gli integrali relativi all'energia (e quindi calcoli in presenza di grandezze continue) con sommatorie, e quindi presupponendo che l'energia fosse una variabile discreta.

Resta da individuare il valore di questo "quanto di energia". A ciò sopperisce il POSTULATO DI PLANCK:

Qualsiasi sistema fisico, che si evolve nel tempo, può possedere solo valori totali E di energia tali che sia rispettata la relazione:

E = n h v

Dove v è la frequenza di oscillazione del sistema, h una costante universale il cui valore si ricava dalla Legge di Planck e che vale 6,63x10-34 j s, ed è chiamata appunto Costante di Planck. La presenza di n, detto anche "numero quantico" dimostra come l'energia totale sia sempre un multiplo della grandezza hv, che è quindi il valore del quanto d'energia. Gli stati energetici permessi (multipli interi di hv) sono detti stati quantici.

Si può muovere l'obiezione, fondata sperimentalmente, che fenomeni fisico-meccanici macroscopici, come l'oscillazione di un pendolo, assumono diverse energie secondo un andamento continuo. In verità ciò è un'illusione legata alla nostre capacità di percezione: in verità per via del piccolissimo valore di h gli stati quantici assumono valori minimamente differenti l'uno dall'altro, dandoci l'idea di continuità. Comunque, un'interpretazione continua di fenomeni macroscopici non è errata, considerato il piccolo valore di h, tanto che in questi casi si assume h tendente a zero.

L'idea di energia quantizzata e stato quantico saranno in particolare fondamentali per successivi sviluppi della fisica, tra cui lo studio dell'effetto fotoelettrico da parte di Eintein e il modello atomico di Bohr.

Curioso è il fatto che questa ipotesi, che sta alla base di una corretta interpretazione della radiazione del corpo nero, e più in generale di una delle più feconde discipline scientifiche di sempre, sia stata formulata da Planck senza nessuna base teorica, tanto che egli stesso la definì un "gesto di disperazione". Anzi, lui in prima persona considererà sempre l'ipotesi quantistica come un mero artificio matematico, una "violenza" contro la fisica classica.

 

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