Introduzione alla relatività

Albert Einstein in visita all'osservatorio
di Monte Wilson negli Stati Uniti

La teoria della relatività generale nacque con la pubblicazione, da parte del suo ideatore Albert Einstein, del volume ”Trattato sulla teoria generale della relatività”, nel 1916. questa teoria faceva seguito ad una prima pubblicazione, inerente alla relatività ristretta (“Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”, 1905); Einstein estese i concetti sviluppati nella sua prima opera, utilizzando come punto di partenza il “Principio di equivalenza”(1911), con cui affermò che, per un osservatore esterno, due sistemi di riferimento, l’uno inerziale e dotato di campo gravitazionale uniforme, l’altro accelerato ma privo di campo gravitazionale, sono fisicamente indistinguibili. Uno dei tratti caratteristici della Relatività Generale riguarda l'introduzione dello spazio-tempo e la perdita della possibilità di dare un senso fisico al concetto di spazio (e tempo) assoluto.

La prima legge del moto di Newton afferma che ogni corpo tende a mantenere il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme; la seconda legge del moto stabilisce che ogni corpo possiede un'inerzia espressa dalla sua massa m, che si oppone agli agenti esterni (le forze F) che tendono ad alterare il suo stato dinamico ed a fornirgli un'accelerazione a (F = ma).

Ad esempio quando partiamo in automobile, impieghiamo un certo tempo a raggiungere la velocità di crociera perché il veicolo tende a rimanere fermo. Viceversa, se freniamo bruscamente, impieghiamo del tempo a fermarci del tutto perché l'automobile tende a mantenere la velocità di crociera.

La seconda legge del moto di Newton vale però solo per "sistemi di riferimento inerziali" che sono sistemi privi di accelerazione. Da ciò possiamo dedurre che la Terra non è un sistema di riferimento inerziale, perché ruota su se stessa ed intorno al Sole. Anche il Sole però non costituisce un sistema inerziale in quanto ruota nella Galassia, e la Galassia nel Gruppo Locale ecc. Pare quindi che non sia possibile trovare un sistema di riferimento "fisso", il cosiddetto spazio assoluto di Newton, in cui le leggi del moto (includendo anche la terza legge del moto, il principio di azione e reazione) siano verificate con la massima precisione.

La difficoltà relativa al concetto di spazio assoluto non era sfuggita a Newton, ma egli pensò di averla risolta con il famoso esperimento del secchio rotante: se un secchio pieno d'acqua è messo in rotazione attorno al suo asse verticale, inizialmente l'acqua rimane ferma senza partecipare alla rotazione delle pareti del recipiente e la sua superficie rimane intatta. Successivamente, man mano che la rotazione del secchio si trasmette all'acqua, questa comincia a ruotare mostrando un rialzamento della superficie libera al bordo ed una depressione al centro. Dunque all'inizio l'acqua ruota rispetto al secchio ma "in realtà" (cioè rispetto allo spazio assoluto) è in quiete perché la sua superficie è piana; successivamente essa è ferma rispetto alle pareti ma "in realtà" ruota perché la sua superficie s'incurva. Newton sosteneva che esperimenti di questo tipo permettessero di distinguere tra moti relativi e moti assoluti.

Berkeley e Mach, successivamente, contestarono questo modo di vedere le cose. Se escludessimo le stelle fisse, sostenevano, l'acqua del secchio non s'incurverebbe mai escludendo così la possibilità di individuare lo spazio assoluto. Il succo del loro ragionamento è il seguente: non possiamo dire se un corpo si muova di moto uniforme o se stia fermo, a meno che non vi sia un secondo corpo rispetto al quale misurare la velocità del primo. Questo vale anche per un corpo accelerato. Infatti, in assenza di un secondo corpo di riferimento, non siamo in grado di dire se un oggetto percorra una traiettoria curva o rettilinea, e se varia o meno la sua velocità.

Il principio di Mach afferma che l'inerzia, cioè la proprietà di un corpo di continuare a muoversi di moto uniforme finché non viene disturbato da una forza, non può essere una proprietà intrinseca al corpo, ma deve essere determinata dalla sua interazione con le altre masse dell'Universo; in mancanza di queste masse, anche l'inerzia sparirebbe perché non il corpo non avrebbe nulla rispetto al quale accelerare o rallentare il suo moto.

Lo spazio-tempo relativistico

La teoria della Relatività Generale ha mostrato che per costruire un sistema di riferimento adatto all'Universo è necessario collegare lo spazio con il tempo. Lo spazio-tempo che ne risulta è a quattro dimensioni, tre delle quali spaziali e la restante temporale. Ogni punto dello spazio-tempo è quindi individuato da quattro coordinate che definiscono un "evento".

Quanto la variabile tempo sia essenziale nella descrizione dell’Universo appare evidente dal fatto che noi oggi (in conseguenza dei limiti della velocità della luce) osserviamo oggetti tanto più vecchi quanto sono lontani, antichi anche di milioni e miliardi di anni. Scrutando l'Universo abbiamo sotto gli occhi il passato; tanto più remoto quanto più lontani sono i corpi celesti che si osservano.

Il principio d'equivalenza rappresenta il cardine, insieme al principio di Mach, su cui è costruita la Relatività Generale. Potremmo affermare, provocatoriamente e seguendo le idee guida di Einstein, che la gravità non esiste: l'effetto di un qualsiasi corpo materiale è quello di "incurvare" lo spazio intorno a sé, e tale "curvatura" fa deviare i corpi dalla loro traiettoria rettilinea provocando in questo modo quella che noi chiamiamo attrazione gravitazionale. Due oggetti dal peso tanto diverso, come una piuma ed un sasso, cadono a terra con la stessa accelerazione in quanto essi semplicemente si muovono in uno spazio curvo che deflette le loro traiettorie in uguale misura.

La gravità di Einstein

Lo sviluppo ed il superamento della gravità newtoniana, si ebbero agli inizi del XX secolo con Einstein e la Relatività Generale. Secondo questa teoria la gravità è interpretata come effetto geometrico, in quanto la materia presente nell'Universo determina la curvatura dello spazio-tempo. Le equazioni di Einstein esprimono semplicemente la relazione fra la curvatura da un lato e la materia ed energia dall'altro.

Lo spazio-tempo è un'entità a quattro dimensioni (tre spaziali + una temporale) che sostituisce lo spazio ed il tempo della teoria newtoniana. Non solo lo spazio ed il tempo non sono più assoluti ma sono pure intrinsecamente connessi, e ciò che rende particolarmente difficile questa teoria è una sorta di "anello di retroazione". Vale a dire: la curvatura dello spazio-tempo è determinata dalla distribuzione della materia ed energia distribuita nell'Universo, che a sua volta è governata dalla curvatura dello spazio-tempo stesso. La teoria di Einstein dà un'interpretazione della gravità comprensiva della teoria di Newton, che rimane peraltro valida come caso particolare laddove le masse che generano la gravità (ad esempio nel Sistema solare) non sono troppo grandi.

Il principio di equivalenza

Le ragioni che indussero Einstein a costruire la Relatività Generale, si possono spiegare, nei loro principi di base, ricorrendo a degli esperimenti ideali. Il più importante è noto come l'ascensore di Einstein.

Tutti gli oggetti cadono al suolo con la stessa accelerazione e già questo era noto a Galileo. Immaginiamo ora un ascensore all'ultimo piano di un grattacielo e supponiamo che non vi sia aria in esso. Di colpo si spezza il cavo portante e la cabina inizia a cadere liberamente con accelerazione costante. Contemporaneamente una persona che si trova nel suo interno lascia cadere un sasso ed una piuma. La forza di gravità attrae allo stesso modo sia i due oggetti che l'ascensore, per cui la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla. In altre parole sia il sasso che la piuma non arrivano a toccare il fondo dell'ascensore, dal momento che quest'ultimo sta cadendo con la loro stessa accelerazione. L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi a buon diritto affermare di trovarsi in una zona dello spazio lontana dall'azione gravitazionale di stelle e pianeti, dal momento che i due oggetti lasciati a se stessi rimangono sospesi a mezz'aria.

Consideriamo ora la situazione opposta: la cabina viene posta in una zona dello spazio dove non agiscono forze gravitazionali, ad esempio in una navetta spaziale in orbita terrestre. Supponiamo inoltre che la cabina venga "tirata" verso l'alto sempre con accelerazione costante tramite una fune collegata al soffitto. Se la persona all'interno dell'ascensore lascia andare la piuma ed il sasso essi rimarranno al loro posto dal momento che nessuna forza agisce su di loro. Il pavimento però si sta muovendo verso l'alto e, prima o poi, raggiungerà i due oggetti. La persona all’interno dell'ascensore, ignorando la situazione esterna, può credere di trovarsi dentro un campo gravitazionale dal momento che, lasciando andare la piuma ed il sasso, essi "cadono" sul pavimento contemporaneamente. La persona stessa inoltre "sente" il proprio peso a causa del pavimento che spinge contro i piedi.

Si può quindi affermare che: gli effetti di un'accelerazione costante su di un osservatore sono equivalenti a quelli di un campo gravitazionale uniforme sullo stesso osservatore supposto in quiete. In questo consiste il famoso principio di equivalenza formulato da Einstein nel 1911. Sono state effettuate diverse verifiche sperimentali del principio di equivalenza e le principali prendono in considerazione due tipi di esperimenti: la bilancia gravitazionale ed il red-shift gravitazionale. Il grado di precisione con cui è stato verificato il principio d'equivalenza è talmente elevato da risultare uno dei pilastri dell'intera fisica moderna.

Geodetica

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, una geodetica è una particolare curva che descrive localmente la traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio. Lo spazio in questione può essere una superficie, o più generale uno spazio metrico. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli archi di cerchio massimo, e in questo caso vale il “Teorema di Darboux”: " presa una regione abbastanza ristretta, per due punti in tale regione passa una e una solo geodetica". Ciò dimostra che questa geodetica è: "la linea di minor cammino tra i due punti e, viceversa, la linea di minor cammino tra due punti è la geodetica".

Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di metrica riemanniana, che è connesso con il concetto di distanza e di accelerazione. Infatti, essa può essere intesa come il percorso che compirebbe una particella non accelerata. In matematica, le geodetiche hanno un ruolo fondamentale nello studio delle superfici (ad esempio, quella terrestre), e delle varietà astratte con 3 o più dimensioni. Sono importanti, inoltre, per descrivere alcune geometrie non euclidee, come la geometria iperbolica.

In fisica, poiché dalla relatività generale la forza gravitazionale è interpretata come una deformazione dello spazio-tempo quadridimensionale, esse ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali.

Superfici e varietà

In una sfera, il cerchio massimo (in rosso) è una geodetica mentre il cerchio blu non è una geodetica.

Il termine "geodetica" deriva da geodesia, la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma del globo terrestre; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della Terra, ossia un arco di cerchio massimo. Gli archi di meridiani e di equatore sono geodetiche, mentre gli altri paralleli non lo sono.

In matematica, una geodetica è sempre una curva che descrive (almeno localmente) il cammino più breve su un dato spazio. Lo spazio in esame può essere una superficie contenuta nello spazio tridimensionale, o una più generale varietà riemanniana, ovvero uno "spazio curvo" astratto di dimensione arbitraria.

Relatività generale

Nell’immagine sono raffigurati tre tipi di geodetica in un campo gravitazionale generato da un pianeta, situato al centro di questo modello di spazio a due dimensioni. Una geodetica descrive un corpo che cade verticalmente verso il pianeta; un'altra descrive l'orbita circolare di un satellite; un'altra ancora descrive un corpo la cui orbita è solamente curvata dal pianeta.

Le geodetiche hanno assunto un significato fisico importante all'inizio del XX secolo, per il loro ruolo nella relatività generale. Secondo la relatività, lo spaziotempo è infatti uno spazio "curvo" di 4 dimensioni, in cui le geodetiche descrivono la traiettoria di un punto materiale in presenza di un campo gravitazionale. Sono quindi geodetiche le traiettorie di un sasso che cade, di un satellite in orbita e persino di un raggio di luce.

La curvatura dello spaziotempo è causata dalla presenza di massa(ad esempio il sole, come si vede nella figura sotto). La traiettoria di un raggio di luce, come quella di qualsiasi oggetto, è quindi determinata dalla distribuzione della massa nello spazio. La relazione precisa fra massa e curvatura è espressa dalla equazione di campo di Einstein.

Geodetiche e geometrie non euclidee

Tre geodetiche che formano un triangolo su una superficie con “curvatura gaussiana” negativa(i lati sono leggermente spostati verso l’interno). La somma degli angoli interni è minore di quella che si ottiene su un triangolo piano (cioè π=3,14).

La somma degli angoli interni di un triangolo su una sfera, che ha curvatura gaussiana positiva, è maggiore di π.

Una geodetica è completa se si estende indefinitamente in entrambe le direzioni. Le geodetiche del piano euclideo sono quindi le rette, di lunghezza infinita in ambo le direzioni.

Le geodetiche su un più generale spazio soddisfano spesso tutti i postulati di Euclide richiesti per le rette nel piano, eccetto il V postulato, riguardante le rette parallele. In questo modo è quindi possibile costruire numerose geometrie non euclidee, con comportamenti qualitativamente molto differenti fra loro.

Il V postulato afferma che per ogni retta e ogni punto non contenuto in questa, esiste esattamente una retta passante per il punto parallela alla prima. Lo stesso enunciato espresso per le geodetiche (dove "parallele" vuol dire "che non si intersecano") è infatti falso in molti casi. Ad esempio, non esistono geodetiche parallele nella sfera (due cerchi massimi si incontrano sempre), mentre se ne trovano infinite nello spazio iperbolico.

In uno spazio non euclideo, molti dei teoremi della geometria piana non sono più validi. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo, i cui lati sono 3 geodetiche, può essere diversa da π. Ad esempio, sulla sfera questa somma è sempre superiore a π.

Esempi di geodetica

Immagini "assortite" di particolare interesse provenienti da elaborazioni
ottenute con i programmi di calcolo numerico :

Geodetica su un toro

Geodetica su una sfera

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sembra che la geometria non euclidea sia stata scoperta almeno quattro volte in 20 anni.
Scoperte simultanee indipendenti non sono rare nella storia della scienza e della matematica, specialmente in periodi in cui molti studiosi si dedicano allo stesso problema e le comunicazioni fra di loro sono scarse.
Il primo ad avere una chiara visione di una geometria coerente sembra esser stato Gauss attorno al 1813. In seguito, alla fine del 1818, egli ricevette una lettera di Ferdinand Schweikart che lo informava di esser giunto in modo indipendente a conclusioni sostanzialmente identiche alle sue.
Nel 1831 poi, Gauss ricevette da Farkas Bolyai una copia di un trattato sulla geometria non euclidea che suo figlio János Bolyai era in procinto di pubblicare.
Infine, tra i fondatori della geometria non euclidea va citato Nicolaj Ivanovic Lobacevskij che, in anticipo su Bolyai, aveva pubblicato nel 1830 un articolo sull'argomento.

La creazione della Geometria non Euclidea fu il passo più rivoluzionario e più denso di conseguenze compiuto in matematica dal tempo dei Greci. La nascita di queste nuove teorie cambiò il pensiero dei matematici nei confronti della geometria. Infatti prima della "rivoluzione non euclidea" si riteneva che l'unica geometria possibile fosse quella Euclidea perché in grado di descrivere la realtà e rafforzata dal fatto che ormai persisteva da secoli. Ma quando si è dimostrata l'esistenza di altre geometrie ugualmente valide, allora si pensò alla geometria  come branca della matematica che dava possibilità di ricerca e di inventiva perchè si poteveno creare nuove geometrie purché fossero coerenti (comunque a tutt'oggi la geometria più diffusa è ovviamente quella Euclidea perché è quella semplice da utilizzare nello studio dei fenomeni direttamente osservabili dai nostri sensi).
Anche se aveva tenuto per sé i risultati più "rivoluzionari", il saggio “Disquisitiones generales circa superficies curvas” pubblicato da Gauss nel 1828 segnò una svolta nell'indagine delle geometrie alternative. L'attenzione viene rivolta alle proprietà intrinseche delle superfici, a prescindere dallo spazio in cui sono immerse: questo metodo d'indagine viene esteso da Bernhard Riemann nel suo scritto Sulle ipotesi che sono di fondamento della Geometria del 1854 che venne pubblicato postumo nel 1867. Riemann getta le basi di una geometria totalmente nuova, detta geometria riemanniana, in cui il problema delle parallele non si pone nemmeno, sostituendo il concetto di retta con quello metrico di curva geodetica, ossia il percorso di minor distanza tra due punti. Si possono così costruire geometrie a curvatura costante, oppure che varia in ogni punto, in qualunque numero di dimensioni, ognuna corrispondente ad una superficie, detta varietà riemanniana n-dimensionale. In quest'ottica, la geometria euclidea è la geometria naturale del piano.

Diramiamo qui il nostro discorso, per facilitare la comprensione, in vari argomenti:

- La Duplice Natura della Luce

- Relatività Generale